Зачем быть конденсатору в магнитном поле?

Стасенко А.Л. Зачем быть конденсатору в магнитном поле? //Квант. — 1998. — № 5. — С. 38.

 журнал "Квант"  (ПДФ)

Так уж повелось издавна, что в конденсаторе, этом хранителе зарядов, существует электрическое поле, а в катушке с током - магнитное. Но повесить конденсатор в магнитном поле - такое могло прийти в голову только очень Любопытному ребенку. И не зря - он узнал нечто новое.

А дело было так. Смастерил Любопытный ребенок конденсатор из двух длинных коаксиальных цилиндров с мало отличающимися радиусами a и b, так что их разность, т.е. ширина зазора b - a = l, много меньше любого из этих радиусов (l << a < b), да и повесил его вертикально в вертикальном же магнитном поле 

 

B⃗ 

y

${\overrightarrow{�}}_{�}$

, причем так, что конденсатор мог вращаться вокруг своей оси совсем без трения (см. рисунок).

На внутренний цилиндр он поместил положительный заряд +q₀, на внешний -отрицательный -q₀. В результате между обкладками конденсатора возникло радиальное электрическое поле E_r. Да вот беда: конденсатор оказался заполненным веществом, обладающим электропроводностью, так что началась утечка заряда и возник радиальный электрический ток. Но на каждый заряд e₀, движущийся поперек линий магнитного поля, действует, как известно, сила Лоренца, перпендикулярная обоим векторам — скорости заряда 

 

υ⃗ 

r

${\overrightarrow{�}}_{�}$

 и индукции магнитного поля 

 

B⃗ 

y

${\overrightarrow{�}}_{�}$

, а значит, направленная по касательной к окружности, и равная

 

F

φ

=e

υrB

y

${�}_{�}=�{�}_{�}{�}_{�}$

(индексы у букв как раз и подчеркивают взаимную перпендикулярность этих трех векторов).

Если концентрация движущихся зарядов n, то на единицу объема будет действовать сила, ее можно назвать объемной плотностью силы,

 

f

φ

=n

F

φ

=ne

υrB

y

${�}_{�}=�{�}_{�}=��{�}_{�}{�}_{�}$

 .

Поскольку эта сила направлена по касательной, то весь конденсатор начнет вращаться. Цилиндрический слой вещества между обкладками конденсатора и связанные с ним обкладки будут ускоряться в своем вращательном движении под действием суммарной силы, действующей на весь объем 2πalh и равной

 

f

φ

⋅2πalh=ne

υrB

y

⋅2πalh

${�}_{�}\cdot 2���ℎ=��{�}_{�}{�}_{�}\cdot 2���ℎ$

(тут-то Любопытному ребенку и пригодилось предположение о тонкости зазора между обкладками конденсатора - а то пришлось бы интегрировать по объему). Итак, уравнение второго закона Ньютона, описывающего ускоренное вращательное движение конденсатора (пусть его масса m) можно записать в виде

 m

d

υφ

dt

=(ne

υr

)(2πah)⋅l

B

y

$�\frac{�{�}_{�}}{��}=(��{�}_{�})(2��ℎ)\cdot �{�}_{�}$

 .

Выражение в первой скобке - это плотность тока 

 

jr

=ne

υr

${�}_{�}=��{�}_{�}$

, а во второй - площадь обкладок 

 S=2πah

$�=2��ℎ$

 (она почти одинакова для обеих обкладок, опять же в силу малости зазора между ними). Но если плотность тока умножить на поперечную площадь, получится полный ток 

 I=

jr

S

$�={�}_{�}�$

. Таким образом,

 d(

υφ

m)=l

B

y

(Idt)

$�({�}_{�}�)=�{�}_{�}(���)$

 .

Снова не напрасно появились скобки. В скобках справа заключено изменение положительного заряда на внутренней обкладке:

 dq=−Idt

$��=-���$

(знак «минус» указывает на тот факт, что положительный радиальный ток уменьшает положительный заряд). Получилось, что приращение импульса конденсатора во вращательном движении 

 d(m

υφ

)

$�(�{�}_{�})$

 пропорционально убыли заряда конденсатора. Значит, когда конденсатор полностью разрядится, его «вращательный» импульс достигнет максимально возможной величины

 m

υφ

=l

B

y

q

0

$�{�}_{�}=�{�}_{�}{�}_0$

 .

Образованный физик предпочел бы (в случае вращательного движения) говорить не об импульсе (поскольку центр масс конденсатора остается в покое), а о моменте импульса. Он умножил бы силу и импульс силы на плечо a (расстояние до оси вращения) и получил бы совсем грамотное уравнение

 m

υφ

a=al

B

y

q

0

$�{�}_{�}�=��{�}_{�}{�}_0$

 .

для момента импульса конденсатора. Но дело не в этой тонкости (тем более, что Любопытному ребенку многое простительно). Возникает вопрос: откуда взялся вращательный импульс (или момент импульса) у конденсатора, который первоначально покоился? Ведь, согласно фундаментальным законам физики, эти величины не могут уничтожаться или возникать из ничего. Вывод один: они раньше принадлежали электромагнитному полю. В начальный момент конденсатор покоился, но существовали поля E_r и B_y. По мере разрядки конденсатора уменьшалось электрическое поле, и момент импульса электромагнитного поля постепенно переходил к ускоряющемуся (во вращательном движении) конденсатору. Наконец, электрическое поле исчезло совсем, и вместе с этим перестало существовать электромагнитное поле (осталось только магнитное), а конденсатор приобрел наибольшую угловую скорость.

Оказывается, - сказал себе Любопытный ребенок, - электромагнитное поле обладает атрибутами механики: плотностью импульса и момента импульса!

Смотреть